РЕШУ ЦТ

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Задание № 1647 Добавить в вариант

Найдите все пары (m, n) целых чисел, которые связаны соотношением m² + 4m  =  n² − 2n + 8. Пусть k  — количество таких пар, m₀  — наименьшее из значений m, тогда значение выражения k · m₀ равно ... .

Спрятать решение

Решение.

Преобразуем и решим:

$m в квадрате плюс 4m=n в квадрате минус 2n плюс 8 равносильно левая круглая скобка m в квадрате плюс 4m плюс 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка n в квадрате минус 2n плюс 1 правая круглая скобка плюс 11 равносильно левая круглая скобка m плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 11 равносильно$ $m в квадрате плюс 4m=n в квадрате минус 2n плюс 8 равносильно левая круглая скобка m в квадрате плюс 4m плюс 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка n в квадрате минус 2n плюс 1 правая круглая скобка плюс 11 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка m плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 11 равносильно$ $m в квадрате плюс 4m=n в квадрате минус 2n плюс 8 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка m в квадрате плюс 4m плюс 4 правая круглая скобка = левая круглая скобка n в квадрате минус 2n плюс 1 правая круглая скобка плюс 11 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка m плюс 2 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате плюс 11 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка m плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате =11 равносильно левая круглая скобка m плюс n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка m минус n плюс 3 правая круглая скобка =11\undersetm, n принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений система выражений m плюс n плюс 1=11,m минус n плюс 3=1, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1=1,m минус n плюс 3=11, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1= минус 11,m минус n плюс 3= минус 1, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1= минус 1,m минус n плюс 3= минус 11 конец системы . конец совокупности . равносильно$ $равносильно левая круглая скобка m плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате =11 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка m плюс n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка m минус n плюс 3 правая круглая скобка =11\undersetm, n принадлежит Z \mathop равносильно совокупность выражений система выражений m плюс n плюс 1=11,m минус n плюс 3=1, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1=1,m минус n плюс 3=11, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1= минус 11,m минус n плюс 3= минус 1, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1= минус 1,m минус n плюс 3= минус 11 конец системы . конец совокупности . равносильно$ $равносильно левая круглая скобка m плюс 2 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате =11 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка m плюс n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка m минус n плюс 3 правая круглая скобка =11\undersetm, n принадлежит Z \mathop равносильно$
$\mathop равносильно совокупность выражений система выражений m плюс n плюс 1=11,m минус n плюс 3=1, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1=1,m минус n плюс 3=11, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1= минус 11,m минус n плюс 3= минус 1, конец системы . система выражений m плюс n плюс 1= минус 1,m минус n плюс 3= минус 11 конец системы . конец совокупности . равносильно$

$равносильно совокупность выражений система выражений m плюс n=10,m минус n= минус 2, конец системы . система выражений m плюс n=0,m минус n=8, конец системы . система выражений m плюс n= минус 12,m минус n= минус 4, конец системы . система выражений m плюс n= минус 2,m минус n= минус 14 конец системы . конец совокупности . равносильно совокупность выражений система выражений m=4,n=6, конец системы . система выражений m=4,n= минус 4, конец системы . система выражений m= минус 8,n= минус 4, конец системы . система выражений m= минус 8,n=6. конец системы . конец совокупности .$

Итак, $k=4,m_0= минус 8.$ Получаем $левая круглая скобка минус 8 правая круглая скобка умножить на 4= минус 32.$

Ответ: −32.

Аналоги к заданию № 1614: 1647 Все

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2020

Сложность: IV

Спрятать решение · Прототип задания · Помощь